Question

平面直角坐标系中，已知定点A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），动点B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），直线A₁B₁与直线A₂B₂的交点N的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点M（

4

3

，0）的直线l交轨迹C于P、Q两点，以PQ为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件失策导出直线A₁B₁为y=

m

7

x+m，直线A₂B₂为：y=-

1

7 m

x+

1

m

，其交点满足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，由此能求出轨迹C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线方程为x=ty+

4

3

，联立

x2 7 +y2=1 x=ty+ 4 3

，得（t²+7）y2+

8

3

ty-

47

9

=0，由此入手利用已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵定点A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），
动点B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），
∴直线A₁B₁为y=

m

7

x+m，直线A₂B₂为：y=-

1

7 m

x+

1

m

，
∴其交点满足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，
相乘消去m得

x2

7

+y2=1，（x≠-

7

）．
∴轨迹C的方程为

x2

7

+y2=1，（x≠-

7

）．
（2）直线l斜率为0时，交椭圆于左右顶点，不成立，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线方程为x=ty+

4

3

，
与椭圆联立

x2 7 +y2=1 x=ty+ 4 3

，得（t²+7）y2+

8

3

ty-

47

9

=0，
以PQ为直径的圆与y轴相切，
∴|PQ|=x₁+x₂，∴

1+t2

|y1-y2|=t(y1+y2)+

8

3

，
∴（1+t）²[(y1+y2)2-4y1y2]=

64

9

（

7

t2+7

）²，
∴（1+t²）[

64t2

9(t2+7)2

+4•

47

9(t2+7)

]=

64

9

（

7

t2+7

）²，
∴9t⁴+56t²-65=0，解得t²=1或t2=-

65

9

（舍）
∴直线l的方程为y=x-

4

3

或y=-x-

4

3

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线方程、直线与椭圆位置关系、圆等知识点的合理运用．