题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若20sinA•
+15sinB•
+12sinC•
=
．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）设|
|=5，点P是△ABC内切圆上的动点，求
2+
2+
2的取值范围．
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
（1）试判断△ABC的形状；
（2）设|
| AB |
| PA |
| PB |
| PC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由条件利用正弦定理可得20a•
+15b•
+12c•
=
，化简可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c2-b2=a2，故△ABC为直角三角形．
（2）以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，设P坐标为（x，y），化简要求的式子为28-2x，根据0≤x≤2，求得要求式子的值．
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
（2）以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，设P坐标为（x，y），化简要求的式子为28-2x，根据0≤x≤2，求得要求式子的值．
解答：
解：（1）△ABC中，由20sinA•
+15sinB•
+12sinC•
=
，
利用正弦定理得20a•
+15b•
+12c•
=
，
又
=
+
=-(
+
)，故(15b-20a)
+(12c-20a)
=
．
由
、
为不共线向量，可得15b-20a=0，且12c-20a=0，
所以b=
a，c=
a，从而c2-b2=a2，故△ABC为直角三角形．
（2）以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，
设P坐标为（x，y），则
2+
2+
2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2
=3x2+3y2-8x-6y+25=28-2x，
因为 0≤x≤2，所以，28-2x∈[18，22]．
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
利用正弦定理得20a•
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
又
| BC |
| BA |
| AC |
| AB |
| CA |
| CA |
| AB |
| 0 |
由
| CA |
| AB |
所以b=
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
（2）以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，
设P坐标为（x，y），则
| PA |
| PB |
| PC |
=3x2+3y2-8x-6y+25=28-2x，
因为 0≤x≤2，所以，28-2x∈[18，22]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题．
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