Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记g（x）=log（2^x-1）（x＞0）．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）将方程g（x）=m+f（x）转化为m=g（x）-f（x），然后求出函数g（x）-f（x）的表达式，即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）任设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=log?2(2x1+1)-log?2(2x2+1)=log?2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴log?2

2x1+1

2x2+1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数的在定义域上单调递增．
（2）∵g（x）=log（2^x-1）（x＞0）．g（x）=m+f（x）
∴m=g（x）-f（x）=log?2(2x -1)-log?2(2x+1)=log?2

2x-1

2x+1

=log?2(1-

2

2x+1

)，
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

，
∴log2

1

3

≤log2(1-

2

2x+1

)≤log2

3

5

，
即m的取值范围是[log2

1

3

，log2

3

5

]．

点评：本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查学生的运算能力．