Question

已知数列{a_n}满足na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

2

3

）ⁿ+（

2

3

）^n-1+…+

2

3

，数列{a_n}的前n项和为S_n，设b_n=n•S_n
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求b₁+b₂+…+b_n的值；
（3）是否存在正整数k，使得对任意的n∈N^*都有b_n≤b_k成立，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=(

2

3

)n，a₁=S₁=

2

3

，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）b_n=n•S_n=n•(

2

3

)n，由此利用错位相减法能求出b₁+b₂+…+b_n的值．
（3）由_n=n•S_n=n•（

1

3

）ⁿ，n∈N^*，猜想b_n≤b₃=

8

3

成立，再利用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

2

3

）ⁿ+（

2

3

）^n-1+…+

2

3

，①
∴（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+2a_n-2+a_n-1=（

2

3

）^n-1+（

2

3

）^n-2+…+

2

3

，②
①-②，得a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=(

2

3

)n，
∴a₁=S₁=

2

3

，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

2

3

）ⁿ-（

2

3

）^n-1．
∴a_n=

2 3 ，n=1 ( 2 3 )n-( 2 3 )n-1，n≥2

．
（2）b_n=n•S_n=n•(

2

3

)n，设T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴T_n=1•

2

3

+2•(

2

3

)2+3•(

2

3

)3+…+n•(

2

3

)n，③

2

3

Tn=1•(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+3•(

2

3

)4+…+n•(

2

3

)n+1，④
③-④，得：

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•(

2

3

)n+1
=2-（2+

2

3

n）•(

2

3

)n，
∴T_n=6-（6+2n）•(

2

3

)n．
（3）∵b_n=n•S_n=n•（

1

3

）ⁿ，n∈N^*，
∴b1=

2

3

，b2=

8

3

，b3=

8

3

，b₄=

64

81

，
由此猜想b_n≤b₃=

8

3

成立，
下面利用数学归纳法证明：
①n=1时，b₁=

2

3

≤b3=

8

3

成立，
②假设n=k时，成立，即b_k≤b₃=

8

3

，
则当n=k+1时，b_k+1=（k+1）（

2

3

）^k+1=

2

3

×k×(

2

3

)k+

2

3

×(

2

3

)k≤

2

3

×

8

3

+(

2

3

)k+1，
∵t=（

2

3

）^k+1是减函数，
∴当n=k+1≥5时，b_k+1≤

16

9

+(

2

3

)5＜

8

3

，
即n=k+1也成立．
由①②得存在正整数k=3，使得对任意的n∈N^*都有b_n≤b_k成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数学的前n项和的求法，考查不等式是否存在的判断与求法，解题时要注意错位相减法的合理运用，