Question

已知数列{a_n}，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=4（

an

n

）²，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设C_n=2ⁿ（

n

an

-λ），若数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S_n，最后利用a_n=S_n-S_n-1求得答案．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中a_n，求得b_n，设出C_n，分n为偶数和奇数时的T_n．
（Ⅲ）根据数列为递减数列，只需满足C_n+1-C_n＜0，求得

4

n+2

-

2

n+1

的最大值，即可求得λ的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知

Sn+1

Sn

=

n+3

n

，且S₁=a₁=1，
当n≥2时，
S_n=S₁•

S2

S1

•

S3

S2

…•

Sn

Sn-1

=1•

4

1

•

5

2

•…•

n+2

n-1

=

n(n+1)(n+2)

6

，
S₁也适合，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

，且a₁也适合，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
（Ⅱ）b_n=4（

an

n

）²=（n+1）²，设C_n=（-1）ⁿ（n+1）²，
当n为偶数时，∵C_n-1+C_n=（-1）^n-1•n²+（-1）ⁿ•（n+1）²=2n+1，
T_n=（C₁+C₂）+（C₃+C₄）+…（C_n-1+C_n）=5+9+…+（2n-1）=

n 2 [5+(2n+1)]

2

=

n(n+3)

2

，
当n为奇数时，T_n=T_n-1+C_n=

(n-1)(n+2)

2

-（n+1）²=-

n2+3n+4

2

，且T₁=C₁=-4也适合．
综上得T_n=

- n2+3n+4 2 (n为奇数) n(n+3) 2 (n为偶数)

（Ⅲ）∵C_n=2ⁿ（

n

an

-λ），使数列{C_n}是单调递减数列，
则C_n+1-C_n=2ⁿ（

4

n+2

-

2

n+1

-λ）＜0，对n∈N^*都成立，
则（

4

n+2

-

2

n+1

）_max＜λ，
∵

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+1)(n+2)

=

2

n+3+ 2 n

，
当n=1或2时，（

4

n+2

-

2

n+1

）_max=

1

3

，
∴λ＞

1

3

．

点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a_n=S_n-S_n-1一定要a₁对进行验证．