Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}的前n项和为T_n，且$b_1^{\;}=\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n及前n项和为T_n；
（3）记集合$A=\{n|2{S_n}（2-{T_n}）≥λ（n+2），n∈{N^*}\}$，若集合A中有且仅有5个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质S₅=5a₃=15，求得a₃=3，由d=a₃-a₂=1，a_n=a₂+（n-2）d=n，根据等差数列前n项和公式即可求得S_n；
（2）$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}$，采用“累乘法”即可求得${b_n}=\frac{n}{2^n}$，“错位相减法”即可求得前n项和为T_n；
（3）由集合A可知：A=$\{n|\frac{{2{S_n}（2-{T_n}）}}{n+2}≥λ，n∈{N^*}\}$，令$f（n）=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，利用函数的单调性建立不等进行求解，实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由等差数列性质可知，S₅=5a₃=15，即a₃=3，由d=a₃-a₂=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=n，…（2分）
∴${S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．…（4分）
（2）由$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}$得$\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2}•\frac{2}{1}，\frac{b_3}{b_2}=\frac{1}{2}•\frac{3}{2}，\frac{b_4}{b_3}=\frac{1}{2}•\frac{4}{3}，…，\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$，
∴当n≥2时，$\frac{b_n}{b_1}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}n$，即${b_n}=\frac{n}{2^n}$，
当n=1时，${b_1}=\frac{1}{2}$，适合上式，
∴${b_n}=\frac{n}{2^n}$．…（6分）
${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
①$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．…（10分）
（3）∵$A=\{n|2{S_n}（2-{T_n}）≥λ（n+2），n∈{N^*}\}$=$\{n|\frac{{2{S_n}（2-{T_n}）}}{n+2}≥λ，n∈{N^*}\}$…（11分）
由上面得$\frac{{2{S_n}（2-{T_n}）}}{n+2}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，令$f（n）=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，
∵$f（n+1）-f（n）=\frac{{{{（n+1）}^2}+n+1}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$，
∴当n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，即f（n+1）＜f（n）…（12分）
又f（1）=1，$f（\frac{3}{2}）=\frac{3}{2}$，$f（3）=\frac{3}{2}$，$f（4）=\frac{5}{4}$，$f（5）=\frac{15}{16}$，$f（6）=\frac{21}{32}$…（14分）
∵集合A中有且仅有5个元素，
∴$\frac{{{n^2}+n}}{2^n}≥λ$，n∈N^*解的个数为5，
∴$\frac{21}{32}＜λ≤\frac{15}{16}$．…（16分）

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式，考查“累乘法”及“错位相减法”的应用，考查数列与不等式相结合，考查计算能力，属于难题．