Question

20．如图，一个由半圆和长方形组成的铁皮，已知长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪成一个等腰三角形PMN，且底边MN⊥BC，求剪下的铁皮△PMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 设∠MOQ=θ，由θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解．

解答 解：设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，MQ=sinθ，OQ=cosθ
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$（1+sinθ）（1+cosθ）
=$\frac{1}{2}$（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（6分）
令sinθ+cosθ=t∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$（t+1+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$）
θ=$\frac{π}{4}$，当t=$\sqrt{2}$，
∴S_△PMN的最大值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．…（11分）

点评 本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键．