Question

4．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	50	60	70

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）要使这种产品的销售额突破一亿元，则广告费支出至少为多少百万元？（精确到0.1）

附表：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{a=\overline{y}-b\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出$\stackrel{∧}{a}$的值，写出线性回归方程．
（3）依题意，有7x+15≥100，解出x 的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）散点图如图所示

（2）$\overline{x}=5，\overline{y}=50$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=145，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1390，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{1390-5×5×50}{145-5×{5}^{2}}$=7，$\stackrel{∧}{a}$=50-7×5=15，
故回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=7x+15；
（3）依题意，有7x+15≥100，∴x≥12.1，
∴广告费支出至少为12.1百万元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查回归方程，考查学生的计算能力，确定回归系数是关键．