Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，f（1）=2，且不等式f（x）≥3x-1对x∈R恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的两根为x₁，x₂，且满足x₁+1=2x₂，求实数k的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设函数f（x）=ax²+bx+c，则由f（0）=0，f（1）=2，求得f（x）=ax²+（2-a）x．再根据ax²-（a+1）x+1≥0 恒成立，故有

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的两根为x₁，x₂，则由题意可得

x1+x2=2k-1 x1•x2=k2-3 x1+1=2x2

，化简可得k²+6k-27=0，由此解得k的值．

解答： 解：（Ⅰ）设函数f（x）=ax²+bx+c，则由f（0）=0，f（1）=2，
可得c=0，a+b=2，∴f（x）=ax²+（2-a）x．
再根据f（x）≥3x-1对x∈R恒成立，可得ax²+（2-a）x≥3x-1对x∈R恒成立，
即ax²-（a+1）x+1≥0 恒成立，故有

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，a=1，
∴f（x）=x²+x．
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的两根为x₁，x₂，即x²-（2k-1）x+k²-3=0的两根为x₁，x₂，
则由题意可得

x1+x2=2k-1 x1•x2=k2-3 x1+1=2x2

，化简可得k²+6k-27=0，解得k=-9，或k=3，
都满足判别式△≥0，故k=-9，或k=3．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．