Question

在递增等差数列{a_n}（n∈N_*）中，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞0时n的最小值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比中项的性质和等差数列的通项公式，列出关于a₁、d的方程组，求出方程组的解代入等差数列的通项公式化简即可；
（2）由等差数列的前n项和公式求出S_n，由n的范围求不等式S_n＞0，可求出n的最小值．

解答： 解：（1）在递增等差数列{a_n}中，设公差为d＞0，
因为a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项，
所以

a42=a3×a7 a3=1

，即

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，解得

a1=-3 d=2

，
所以a_n=-3+（n-1）×2=2n-5----------（6分）
（2）由（1）得，Sn=

n(-3+2n-5)

2

=n2-4n--（9分），
由Sn=n2-4n＞0得，n＞4，
故n的最小值为5．（12分）

点评：本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式、前n项和公式，注意n的取值范围．