Question

已知曲线f（x）=

1

2

e^2x-1在点A处的切线和曲线g（x）=

1

2

e^-2x-1在B点处切线互相垂直，O为坐标原点，且

OA

•

OB

=0，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：设A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；从而求导可得f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；联立方程求点的坐标，从而求面积．

解答： 解：设A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；
f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；
故由题意知，
e^2x_A-1•（-e^-2x_B-1）=-1；
x_Ax_B+

1

2

e^2x_A-1（

1

2

e^-2x_B-1）=0；
解得，x_B=-

1

2

，x_A=

1

2

；
故A（

1

2

，

1

2

），B（-

1

2

，

1

2

）；
故S_△AOB=

1

2

×

2

2

×

2

2

=

1

4

．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．