Question

15．已知P为椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上任意一点，F₁，F₂是椭圆上两个焦点，试确定点P的位置，使得∠F₁PF₂最大，并说明理由；并求出此时点P的坐标以及∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆的长轴长及焦距，在焦点三角形中利用余弦定理及基本不等式求得答案．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得a²=9，∴a=3，2a=6．
b²=4，c²=a²-b²=5，
则|PF₁|+|PF₂|=6，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-4{c}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{4{b}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$$≥\frac{16}{2×（\frac{2a}{2}）^{2}}-1$=$\frac{16}{18}-1=-\frac{1}{9}$，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|，即P为椭圆短轴的两个端点时∠F₁PF₂最大，
cos∠F₁PF₂=$-\frac{1}{9}$，此时P（0，±2）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．