Question

4．给出下列四个命题：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x＞0，x-lnx≤0”
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；
④命题“若a²+b²=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a²+b²≠0”
正确的是（　　）

• A． ①④
• B． ①②
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x-sinx，求得判断其单调性，可得若x＞0，则x＞sinx恒成立，则①正确；
写出特称命题的否定判断②错误；
由复合命题的真假判断及充分必要条件的判定方法说明③错误；
写出原命题的逆否命题说明④正确．

解答 解：①，令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；
②，命题“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x₀＞0，x₀-lnx₀≤0”，故②错误；
③，命题p∨q为真，p、q中至少一个为真，但不一定p∧q为真，反之，p∧q为真，则p、q均为真，有p∨q为真，
∴“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，故③错误；
④，命题“若a²+b²=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a²+b²≠0”，故④正确．
∴正确的命题是①④．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．