Question

10．设$f（x）=\frac{{2{{（x-1）}^2}}}{x}，g（x）=ax+5-2a（a＞0）$，若对于任意x₁∈[1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [4，+∞）
• B． （0，$\frac{5}{2}$）
• C． [$\frac{5}{2}$，4]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令$f（x）=\frac{2{（x-1）}^{2}}{x}$，x∈[1，2]的值域为A，令g（x）=ax+5-2a（a＞0），x∈[0，1]的值域为B，若对于任意x₁∈[1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则A⊆B，进而得到答案．

解答 解：令$f（x）=\frac{2{（x-1）}^{2}}{x}$，x∈[1，2]的值域为A，
则A=[0，1]
令g（x）=ax+5-2a（a＞0），x∈[0，1]的值域为B，
则B=[5-2a，5-a]
若对于任意x₁∈[1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则A⊆B，
即$\left\{\begin{array}{l}5-a≥1\\ 5-2a≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{5}{2}$，4]，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是存在性问题和恒成立问题，将问题转化为两个函数值域的包含问题，是解答的关键．