题目内容
12．
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；
（2）设P是BE的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积．
分析 （1）取AC的中点M，连接C1M，FM，则FM∥AB，然后由线面平行的判定得FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，由已知得C1M∥AE，再由面面平行的判定得平面ABE∥平面FMC1，从而得到C1F∥平面ABE；
（2）取B1C1中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，在由AB⊥平面BB1C1C，得EH⊥平面BB1C1C，结合P是BE的中点，利用等积法求得${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}$得答案．
解答 证明：（1）取AC的中点M，连接C1M，FM，则FM∥AB，
又FM?平面ABE，AB?平面ABE，
∴FM∥平面ABE，
在矩形ACC1A1中，E、M分别为A1C1、AC的中点，
∴C1M∥AE，
而C1M?平面ABE，
∴C1M∥平面ABE，
又∵C1M∩FM=M，
∴平面ABE∥平面FMC1，
又∵C1F?平面C1FM，
∴C1F∥平面ABE；
解：（2）取B1C1中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}AB$
在△ABC中，∵AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
则EH=$\sqrt{3}$，由AB⊥平面BB1C1C，得EH⊥平面BB1C1C，
∵P是BE的中点，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}•EH=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．
阅读快车系列答案| A． | y=$\sqrt{x}$ | B． | y=|x|（x≥1） | C． | y=x${\;}^{\frac{2}{3}}$ | D． | y=x3+1 |
| A． | -x+$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$ | B． | x+$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{6}$ | C． | x-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{6}$ | D． | x+$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$ |