Question

4．解关于x的不等式2log₄（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a为常数且a＞2）的解集．

Answer 1

分析 利用对数函数的单调性把已知不等式变形，由a的范围求得$2-\frac{1}{a}$的范围，求解不等式组得答案．

解答 解：原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{a（x-2）+1＞0}\\{（x-1）^{2}＞a（x-2）+1}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞2-\frac{1}{a}}\\{（x-a）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，
∵a＞2，
∴$2-\frac{1}{a}-1=1-\frac{1}{a}＞0$，则2-$\frac{1}{a}＞1$，
从而不等式组等价于：$\left\{\begin{array}{l}{x＞2-\frac{1}{a}}\\{x＞a或x＜2}\end{array}\right.$，即x＞a或$2-\frac{1}{a}＜x＜2$．
∴不等式的解集为{x|x＞a或$2-\frac{1}{a}＜x＜2$}．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查了交集及其运算，是中档题．