Question

1．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，且θ∈（0，π），求下列各式的值：
（1）sinθcosθ；
（2）cos²θ-sin²θ；
（3）sin³θ-cos³θ．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式，把表达式平方化简求解即可．
（2）判断三角函数符号，求解cosθ-sinθ的值，即可求解结果．
（3）利用（1）（2）的结果，化简求解即可．

解答 解：（1）${（sinθ+cosθ）^2}=\frac{1}{25}$得$1+2sinθcosθ=\frac{1}{25}$，
于是sinθcosθ=$-\frac{12}{25}$．
（2）因为θ∈（0，π），sinθ＞0，sinθcosθ=$-\frac{12}{25}＜0$
所以cosθ＜0，cosθ-sinθ＜0
而${（cosθ-sinθ）^2}=1-2sinθcosθ=\frac{49}{25}$
所以$cosθ-sinθ=-\frac{7}{5}$
∴${cos^2}θ-{sin^2}θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=-\frac{7}{25}$，
（3）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）
=$\frac{7}{5}×（1-\frac{12}{25}）=\frac{91}{125}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．