Question

19．若α，β均是锐角，且α＜β，已知cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{12}{13}$，则sin2α=（　　）

• A． $-\frac{16}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$
• C． $\frac{56}{65}$或$\frac{16}{65}$
• D． $\frac{56}{65}$或$-\frac{16}{65}$

Answer 1

分析 由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β） 和cos（α-β）的值，再利用两角和的正弦公式，求得sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]的值．

解答 解：∵α，β均是锐角，且α＜β，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$＞0，∴α+β还是锐角，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$．
∵sin（α-β）=-$\frac{12}{13}$＜0，∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
则sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=$\frac{4}{5}•\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}•（-\frac{12}{13}）$=-$\frac{16}{65}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．