Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且不等式x²cosC+4sinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（Ⅰ）求：角C的最大值；
（Ⅱ）若角C取得最大值，且c=2

3

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由二次函数的图象和性质可解得cosC≥

1

2

，即可求出角C的最大值；
（Ⅱ）先求得角C的值，再求得ab的最大值，即可求出△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当cosC=0即C=90°时：不等式4x+6≥0对x∈R不恒成立，不符合题意
当cosC≠0时：要使不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立，须有：

cosC＞0 16sin2C-24cosC≤0

  解得cosC≥

1

2

     
又因为C∈（0，π），所以0≤C≤

π

3

故角C的最大值为

π

3

．                                           
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：C=

π

3

，由余弦定理得：

1

2

=

a2+b2-12

2ab

，即a²+b²-12=ab
∴2ab-12≤ab
∴ab≤12
∴S_△ABC=

1

2

ab•sinC≤3

3

（当且仅当a=b=2

3

时取“=”）
故△ABC的面积的最大值为3

3

．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．