Question

若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x₀，y₀）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x³
②直线l：x=-1在点P（-1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）²
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,曲线与方程

专题：简易逻辑

分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．

解答： 解：对于①，由y=x³，得y′=3x²，则y′|_x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，
∴命题①正确；
对于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），则y′|_x=-1=0，
而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，
∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|_x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈(-

π

2

，0)时x＜sinx，x∈(0，

π

2

)时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得y′=

1

cos2x

，则y′|_x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈(-

π

2

，0)时tanx＜x，x∈(0，

π

2

)时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得y′=

1

x

，则y′|_x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
设g（x）=x-1-lnx，得g′(x)=1-

1

x

，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，
命题⑤错误．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈(0，

π

2

)时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．