Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的取值范围；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，得$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，由此能求出f（x）的取值范围．
（2）由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得函数y=f（x）的单调递增区间满足条件-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求出函数y=f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）_min=f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=1，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）_max=f（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{2}$=2．
∴f（x）的取值范围[1，2]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数y=f（x）的单调递增区间满足条件：
-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]．k∈Z．

点评 本题考查三角函数的取值范围的求法，考查三角函数的单调增区间的求法，考查二倍角公式、降幂公式、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．