Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-2x-3与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+y+a=0与圆C交于A，B两点，且AB=2，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出曲线y=x²-2x-3与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，把点的坐标代入圆的一般方程列方程组求解系数，则答案可求；
（2）由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+a=0的距离，利用弦心距、弦长与圆的半径之间的关系列式求解a的值．

解答： 解：（1）取x=0，得y=-3，曲线与y轴的交点是（0，-3）．
令y=0，得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
即曲线与x轴的交点是（-1，0），（3，0）．                   
设所求圆C的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

9-3E+F=0 1-D+F=0 9+3D+F=0

，解得：D=-2，E=2，F=-3．
∴圆C的方程是x²+y²-2x+2y-3=0；                  
（2）圆C的方程可化为（x-1）²+（y+1）²=（

5

）²，
∴圆心C（1，-1），半径r=

5

．                      
圆心C到直线x+y+a=0的距离d=

|1+(-1)+a|

2

=

|a|

2

．
由于d²+（

1

2

AB）²=r²，
∴（

|a|

2

）²+1²=（

5

）²，解得a=±2

2

．

点评：本题考查了圆的方程的求法，直线与圆的方程关系的应用，训练了点到直线的距离公式，是中档题．