Question

已知函数f（x）=x²-2mx+4n²（m∈R，n∈R）．
（Ⅰ）若m从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，n从集合{0，1，2，4}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实数根的概率；
（Ⅱ）若m从区间[0，4]中任取一个数，n从区间[0，6]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实数根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）为古典概型，只需列举出所有的基本事件和符合条件的基本事件，作比值即可；
（Ⅱ）为几何概型，只要得出两个区域的面积，由几何概型的公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵m取集合{0，1，2，3}中任一个元素，n取集合{0，1，2，4}中任一个元素，
∴基本事件（m，n）共有16个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，4），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，4），（2，0），（2，1），（2，2），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，4）．…（2分）
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当m≥0，n≥0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为m＞2n
当m＞2n时，事件A共有4个：（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），…（4分）
∴方程f（x）=0有两个不相等实数根的概率为p(A)=

4

16

=

1

4

…（6分）
（Ⅱ）∵m从区间[0，4]中任取一个数，n从区间[0，6]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω={（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6}，
这是一个矩形区域，其面积S=4×6=24…（8分）
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为β={（m，n）|0≤m≤4，0≤n≤6，m＜2n}它所表示的部分为梯形，
其面积S1=24-

1

2

×4×2=20…（10分）
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实数根的概率为p(B)=

S1

S

=

20

24

=

5

6

…（12分）

点评：本题以一元二次方程的根为载体，考查古典概型和几何概型，确定概率模型是关键．