Question

抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点．
（1）求p的值；
（2）若直线AB与x轴交于点Q（-1，0），且|QA|=2|QB|，求直线AB的斜率；
（3）若AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8，求点C的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线代入抛物线方程，利用△=0，即可求p的值；
（2）设直线AB的方程为x=my-1，代入抛物线方程，根据|QA|=2|QB|，结合韦达定理，即可求直线AB的斜率；
（3）抛物线y²=4x的准线x=-1且|AF|+|BF|=8，由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6，由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|，即可求点C的坐标．

解答： 解：（1）由

y2=2px  (p＞0) y=x+1

得：y²-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0得：p=2为所求
（2）设直线AB的方程为x=my-1
由

y2=4x x=my-1

得y²-4my+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|QA|=2|QB|得y₁=2y₂，又

y1+y2=4m y1y2=4

，联立解出m=±

3

4

2

故直线AB的斜率k=

1

m

=±

2

3

2

（3）抛物线y²=4x的准线x=-1且|AF|+|BF|=8，由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6
设C（m，0），由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|
则(x1-m)2+

y

2 1

=(x2-m)2+

y

2 2

(x1-m)2-(x2-m)2=-

y

2 1

+

y

2 2

（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=-4（x₁-x₂）
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4
又因为x₁+x₂=6，所以m=5，则点C的坐标为（5，0）．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．