Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[15，+∞）
• B、（-∞，15]
• C、（12，30]
• D、（-12，15]

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，由

f(p+1)-f(q+1)

p-q

的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．

解答： 解：∵

f(p+1)-f(q+1)

p-q

的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选A．

点评：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题．