Question

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c的最小值为-1，且对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函数是定义域为非空数集，且不存在零点，求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先由函数的最小值为-1和对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x），建立方程组求的解析式．
（2）对函数的对称轴和单调区间进行讨论，确定λ的取值范围．
（3）考虑函数的存在性问题求得p的取值范围．

解答： 解：（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x+c的最小值为-1，
则：

4ac-4

4a

=-1
对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．
-

2

2a

=-1
解得：a=1  c=0
故函数解析式为：f（x）=x²+2x
（2）由（1）得：f（x）=x²+2x
由于g（x）=f（-x）-λf（x）+1
则：g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1
g（x）在[-1，1]上是减函数
则：①当λ=-1时，g（x）=-4x+1，g（x）在[-1，1]上是减函数
②当λ＞-1时g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是开口方向向上的抛物线
-

2λ-2

2(λ+1)

≥1解得：-1＜λ≤0
故：-1＜λ≤0
③当λ＜-1时g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是开口方向向下的抛物线

2λ-2

2(λ+1)

≤-1解得：λ＜-1
故：λ＜-1
综上所述：λ≤0
（3）函数h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函数是定义域为非空数集，且不存在零点
只需满足：P＞（x²+2x）_min=1即可
即p＞0

点评：本题考查的知识要点：二次函数的解析式的求法，二次函数对称轴和定区间的关系，以及函数的存在性问题．