Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ＜

π

2

|）的图象与y轴交于点（0，

3

2

），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象，并说明它是由y=sinx的图象依次经过哪些变换而得到的？

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）用五点法作出函数在一个周期上的简图，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由最大值点和最小值点的坐标可得A=3，
由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3），
可得

T

2

=x0+2π-x0=2π，∴T=4π=

2π

ω

，从而ω=

1

2

．
又图象与y轴交于点(0 ， 

3

2

)，∴

3

2

=3sinφ，sinφ=

1

2

．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，故函数的解析式为f(x)=3sin(

1

2

x+

π

6

)．
（Ⅱ）列表：

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	3	0	-3	0

描点连线成图，如图所示：

将函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=sin(x+

π

6

)的图象；再将所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=sin(

1

2

x+

π

6

)的图象；最后将所得函数图象上点纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到函数y=3sin(

1

2

x+

π

6

)的图象．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，用五点法作函数在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．