Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx（a＞0，b∈R，c∈R），g（x）是f（x）的导函数．
（1）若函数g（x）的最小值是g（-1）=0，且c=1，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（{x-1}），x≥1\\-g（{x-1}），x＜1\end{array}$，求h（2）+h（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|g（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据二次函数的性质端点关于a的方程组，求出a，b的值，从而求出g（x）的表达式，求出h（x）的表达式，计算h（2）+h（-2）的值即可；
（2）求出g（x）的表达式，通过讨论对称轴的位置，求出g（x）的单调性，得到g（x）的最大值和最小值，从而求出b的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx（a＞0，）
g（x）=f′（x）=ax²+bx+c，
∵函数g（x）的最小值是g（-1）=0，且c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a-b+1=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=2，
∴g（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
令t=x-1，则x=t+1，
∴g（x-1）=x²
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥1}\\{{-x}^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，
∴h（2）=4，h（-2）=-4，
∴h（2）+h（-2）=0；
（2）a=1，c=0时，g（x）=x²+bx，
对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，开口向上，
①-$\frac{b}{2a}$≤0即b≥0时，
g（x）在（0，2]递增，
g（x）_min＞g（0）=0，g（x）_max=g（2）=4+2b
若|g（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，
则4+2b≤1，无解；
②-$\frac{b}{2a}$≥2，即b≤-4时，
g（x）在（0，2]递减，
g（x）_max＜g（0）=0，g（x）_min=g（2）=4+2a，
若|g（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，
则4+2b≥-1，无解；
③0＜-$\frac{b}{2a}$＜2，即-4＜b＜0时，
g（x）_min=g（-$\frac{b}{2a}$）=-$\frac{{b}^{2}}{4}$，g（x）_max＜g（0）=0或g（x）_max=g（2）=4+2b，
若|g（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，
则-$\frac{{b}^{2}}{4}$≥-1且4+2b≤1，解得：-2≤b≤-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．