Question

5．已知函数f（x）=ax²+1，（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（2）当a²=4b时，求函数y=f（x）+g（x）在（-∞，0]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a²=4b，构建函数h（x），求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，0]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），
则f'（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，
代入①式可得：a=b=3；
（2）由题设a²=4b，设h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1，
则h′（x）=3x²+2ax+$\frac{1}{4}$a²，令h'（x）=0，解得：x₁=-$\frac{a}{2}$，x₂=-$\frac{a}{6}$；
∵a＞0，
∴-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{a}{6}$，

x	（-∞，-$\frac{a}{2}$）	-$\frac{a}{2}$	（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）	-$\frac{a}{6}$	（-$\frac{a}{6}$，0]
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-$\frac{a}{2}$）单调递增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）单调递减，在（-$\frac{a}{6}$，0]上单调递增，
而h（-$\frac{a}{2}$）=1，h（0）=1，
∴函数的最大值为h（-$\frac{a}{2}$）=h（0）=1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．