Question

12．已知点P（1，b）是函数f（x）=x³+ax²图象上的一点，在点P处切线的斜率为-3，g（x）=x³+$\frac{t-6}{2}$x²+（t-$\frac{1}{2}$）x-$\frac{1}{2}$（t＞0）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，4]时，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=3x²+2ax，由点P（1，b）是函数f（x）=x³+ax²图象上的一点，在点P处切线的斜率为-3，列出方程组能求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，利用导数性质得f（x）在[-1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，4]上单调递减，由此能求出当x∈[-1，4]时，f（x）的最大值和最小值．
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{t}{2}{x}^{2}-（t-\frac{1}{2}）x+\frac{1}{2}$，x∈[1，4]，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需t（x²+2x）≥x+1，由此利用导数性质能求出t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²，∴f′（x）=3x²+2ax，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（1）=3+2a=-3}\\{b=1+a}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈[-1，0）∪（2，4]时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，4]上单调递减，
又f（-1）=-4，f（0）=0，
∴{f（x）}_min=f（2）=-4，{f（x）}_max=f（4）=16．
即当x∈[-1，4]时，f（x）的最大值为16，最小值为-4．
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{t}{2}{x}^{2}-（t-\frac{1}{2}）x+\frac{1}{2}$，x∈[1，4]，
∴要使f（x）≤g（x）恒成立，只需h（x）≤0，即t（x²+2x）≥x+1，
当x∈[1，4]时，t≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x}$，令F（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x}$，
∵${F^'}（x）=\frac{{-（{x^2}+2x+2）}}{{{{（{x^2}+2x）}^2}}}＜0$，∴F（x）在x∈[1，4]为减函数，
∴F（x）_max=F91）=$\frac{2}{3}$，∴t≥$\frac{2}{3}$，
∴t的取值范围是$[{\frac{2}{3}，+∞}）$．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上的最大值及最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．