Question

8．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为ax-y=0，求x₀的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，结合切线方程得到关于x₀的方程，解出即可；
（Ⅱ）构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出g（x）的单调性，得到g（x）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$．…（2分）
因为 切线ax-y=0过原点（0，0），
所以 $\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{x_0^2}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$．…（4分）
解得：x₀=2．…（6分）
证明：（Ⅱ）设$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0）$，
则$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}$．
令$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}=0$，解得x=2．…（8分）
x在（0，+∞）上变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{e^2}{4}$	↗

所以 当x=2时，g（x）取得最小值$\frac{e^2}{4}$．…（10分）
所以 当x＞0时，$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1$，即f（x）＞x．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．