Question

10．已知函数f（x）=asin（x-1）-lnx在区间（0，1）上为减函数，其中a∈R．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：$sin\frac{1}{2^2}+sin\frac{1}{3^2}+…+sin\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜ln2$．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据f（x）=asin（x-1）-lnx在区间（0，1）上为减函数，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；
（2）取a=1得到sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$，取1-x=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$得到sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，累加和根据对数的运算性质和放缩法即可证明．

解答 解：（1）∵f（x）=asin（x-1）-lnx在区间（0，1）上为减函数，
∴f′（x）=acos（x-1）-$\frac{1}{x}$≤0，在x∈（0，1）恒成立，
即a≤$\frac{1}{xcos（x-1）}$，在x∈（0，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{xcos（x-1）}$，
∴g′（x）=$\frac{xsin（x-1）-cos（x-1）}{{x}^{2}co{s}^{2}（x-1）}$＜0，
∴g（x）在（0，1）单调递减，
∴g（x）＞g（1），
∴a≤g（1）=1，
∴a的取值范围为（-∞，1]，
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，取a=1，
∴f（x）=sin（x-1）-lnx＞f（1）=0，
∴sin（x-1）＞lnx，
∴sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$
取1-x=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$得到sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
∴sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln[$\frac{{2}^{2}}{1×（1+2）}$•$\frac{{3}^{2}}{2×（2+2）}$•$\frac{{4}^{2}}{3×（3+2）}$…$\frac{（n-1）^{2}}{（n-2）n}$•$\frac{{n}^{2}}{（n-1）（n+1）}$•ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=ln$\frac{2}{1}•\frac{n+1}{n+2}$＜ln，
问题得以证明．

点评 本题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于中档题．