题目内容
已知偶函数f（x）在闭区间[a，b]（0＜a＜b）上是减函数，试求证：f（x）在区间[-b，-a]上是增函数．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义即可得到结论．
解答：
解：设-b≤x1＜x2≤-a，
则b≥-x1≥-x2≥a，
∵f（x）在闭区间[a，b]（0＜a＜b）上是减函数，
∴f（-x1）＜f（-x2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x1）＜f（-x2），等价为f（x1）＜f（x2），
即f（x）在区间[-b，-a]上是增函数．
则b≥-x1≥-x2≥a，
∵f（x）在闭区间[a，b]（0＜a＜b）上是减函数，
∴f（-x1）＜f（-x2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x1）＜f（-x2），等价为f（x1）＜f（x2），
即f（x）在区间[-b，-a]上是增函数．
点评：本题主要考查函数单调性的证明，利用函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
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