Question

已知sinθ，cosθ是方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根
（1）求实数k的值；
（2）求以tanθ，cotθ为根的一元二次方程．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用根与系数之间的关系，建立条件方程，即可求实数k的值；
（2）利用根与系数之间的关系求出tanθ+cotθ和tanθcotθ的值，即可得到对应的一元二次方程．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根
∴sinθcosθ=

2k+1

8

，…①
sinθ+cosθ=-

3k

4

…②
②平方得：1+2sinθcosθ=

9

12

k²，把①代入解得：
9k²-8k-20=0，
解得k=2或-

10

9

，
又∵△≥0，得：9k²-16k-8≥0，
检验得k=2舍去，k=-

10

9

符合；
（2）依题意，得sinθcosθ=-

11

72

…③
sinθ+cosθ=

5

6

…④
则tanθ+cotθ=

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

=

1

sinθcosθ

=-

72

11

，
∴tanθcotθ=1，
∴以tanθ，cotθ为根的一元二次方程为x²-（tanθ+cotθ）x+tanθcotθ=0，
即x²+

72

11

x+1=0，即11x²+72x+11=0．

点评：本题主要考查根与系数之间的关系的应用，利用三角函数的基本关系式是解决本题的关键．