Question

19．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{OM}$|时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，由此能求出圆心为C（0，4），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l的方程．

解答 解：（1）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4，
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，
即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．
由于|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{OM}$|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，
所以l的斜率为-$\frac{1}{3}$，
故l的方程为y-2=-$\frac{1}{3}$（x-2），即为x+3y-8=0．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程和性质的合理运用．