Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M在双曲线上，且$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}$．则双曲线C离心率的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$+2
• B． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可设M在双曲线的左支上，运用双曲线的定义，以及性质可得$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$a≥a+c，运用离心率公式即可得到最大值．

解答 解：由题意可设M在双曲线的左支上，
由双曲线的定义可得，|MF₂|-|MF₁|=2a，
由$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}$，可得|MF₂|=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$a，
由双曲线的性质可得|MF₂|≥a+c，
即有$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a≥c，
即为e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
则离心率的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．