题目内容

有如下命题：已知椭圆
x2
9
+
y2
4
=1，AA′是椭圆的长轴，P（x1，y1）是椭圆上异于A，A′的任意一点，过P作斜率为-
4x1
9y1
的直线l，过直线l上的两点M，M′分别作x轴的垂线，垂足分别为点A，A′，则
（1）|AM||A′M′|为定值4；
（2）由A，A′，M′，M四点构成的四边形面积的最小值为12．
请分析上述命题，并根据上述命题对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）构造出一个具有一般性结论的命题，使上述命题是一个特例，写出这一命题，并证明这一命题是真命题．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：分析题设命题，根据命题对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）性质能构造出一个具有一般性结论的命题，使题设命题是一个特例，写出这一命题并证明：（1）不妨设A（-a，0），A′（a，0），则直线l：y-y1=-
b2x1
a2y1
(x-x1)，即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，由M与A，M′与A′在相同的横坐标，能证明|AM||A′M′|=b2；（2）由题意知，不论四点的位置如何，四边形的面积S=
1
2
|AA′|(|AM|+|A′M′|)．由此能证明四边形的面积的最小值为2ab．
解答： 解：这一命题是：已知
x2
a2
+
y2
b2
=1，a＞b＞0，AA′是椭圆的长轴，P（x1，y1）是椭圆上异于A，A′的任意一点，过P作斜率为-
b2x1
a2y1
的直线l，过直线l上的两点M，M′分别作x轴的垂线，垂足分别为A，A′，则：
（1）|AM||A′M′|为定值b2；
（2）由A，A′，M′，M四点构成的四边形面积的最小值为2ab．（6分）．
这个命题是真命题，证明如下：
（1）不妨设A（-a，0），A′（a，0），则直线l：y-y1=-
b2x1
a2y1
(x-x1)，
即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，
由M与A，M′与A′在相同的横坐标，
得M（-a，
ab2+b2x1
ay1
），M′(a，
ab2-b2x1
ay1
)，
∴|AM||A′M′|=|yMyM′|
=|
ab2+b2x1
ay1
•
ab2-b2x1
ay1
|
=|b2•
a2b2-b2x12
a2y12
|=b2．（10分）
（2）由题意知，不论四点的位置如何，
四边形的面积S=
1
2
|AA′|(|AM|+|A′M′|)．
∵|AA'|=2a，且|AM|，|A′M′|都为正数，
∴S=
1
2
|AA′|(|AM|+|A′M′|)=a(|AM|+|A′M′|)≥a(2
|AM||A′M′|
)=2ab．
即四边形的面积的最小值为2ab．（14分）
点评：本题考查命题的叙述与证明，考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的关系、考查函数与方程思想、考查推理论证能力的培养，是中档题．
练习册系列答案
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化简：（
1+sinx
1-sinx
-
1-sinx
1+sinx
）（
1-cosx
1+cosx
-
1+cosx
1-cosx
）．
已知全集U={x|-4≤x≤4，x∈Z}，A={-1，a2+1，a2-3}，B={a-3，a-1，a+1}，且A∩B={-2}，求∁U（A∪B）．
若方程|1-2-x|+m=0有且仅有一个实数根，则m的取值范围为
 
．
若0＜a＜b＜1，则logab、logba、log
1
b
a、log
1
a
b的大小关系为
 
．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”为：x1*x2=4x1x2，等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x，y）满足关系式：
y
2
*
y
2
=a*x，则动点P的轨迹方程为（　　）
A、y2=
1
2
ax
B、y2=ax
C、y2=2ax
D、y2=4ax
已知a∈R，解关于x的不等式x-
1
x
≥a（1-x）．
函数f（x）=
1
3
ln
1+x
1-x
的图象可能是（　　）
A、
B、
C、
D、
（1）计算(2
7
9
)0.5+(0.1)-2+(2
10
27
)-
2
3
-3π0+
37
48

（2）化简(a
8
5
•b-
6
5
)-
1
2
•
5a4
÷
5b3
(a≠0，b≠0)．

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