Question

9．如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，直线l：y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F₁F₂及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若CD的垂直平分线过点（-1，0），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，求出$a=2，c=\sqrt{3}$，求出b，得到椭圆方程，然后求解离心率．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）易知$N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y整理，通由△＞0韦达定理，设CD的中点为H（x₀，y₀），求出直线l的垂直平分线方程为$y-\frac{m}{2}=-2（{x+m}）$，通过过点（-1，0），求解直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，可知$a=2，c=\sqrt{3}$，可得b=1，
则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．（2分）
离心率是$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…．（4分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）易知$N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$…（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$（k＞0）消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△＞0⇒4k²+m²+1＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
且|CM|=|DN|即$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ND}$可知${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}$，即$\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=\frac{1}{2}$…．（8分）${x_1}+{x_2}=-2m，{y_1}+{y_2}=2{m^2}-2$，设CD的中点为H（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-m，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{2}$…．（10分）
直线l的垂直平分线方程为$y-\frac{m}{2}=-2（{x+m}）$过点（-1，0），解得$m=\frac{4}{3}$
此时直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}$…．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．