Question

已知函数f（x）=|x²-x|-ax．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）当a≤-1时，求函数f（x）在，[-2，2]上的最小值．

Answer 1

考点：幂函数图象及其与指数的关系,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ） 根据解方程的方法解方程即可
（Ⅱ）先化为分段函数，在分类讨论，根据函数的单调性求出最值

解答： 解：（Ⅰ）当a=

1

2

时，由f（x）=0，得）=|x²-x|-

1

2

x．
显然，x=0是方程的根，当x≠0时，|x-1|=

1

2

，x=

1

2

或

3

2

．
所以，方程f（x）=0的根0，=

1

2

或

3

2

．
（Ⅱ）f（x）=

x2-(a+1)x，x≥1或x≤0 -x2+(1-a)x，0＜x＜1

当a≤-1时，函数y=-x²+（1-a）x的对称轴x=

1-a

2

≥1，所以函数f（x）在（0，1）上为增函数，结合函数y=x²-（a+1）x的对称轴x=

a+1

2

≤0，可知函数f（x）在（-∞，

a+1

2

]上为减函数，在[

a+1

2

，+∞）上为增函数．
（1）当

a+1

2

≤-2，即a≤-5时，
函数f（x）在[-2，2]上是单调递增函数，f（x）的最小值为f（-2）=2a+6，
（2）当

a≤-1 a+1 2 ＞-2

，即-5＜a≤1时，
函数f（x）在[-2，

a+1

2

]上单调递减，在[

a+1

2

，2]上单调递增，
f（x）的最小值为f（

a+1

2

）=-

(a+1)2

4

．…（9分）
综上所述，函数f（x）的最小值[f（x）]_min=

2a+6，a≤-5 - (a+1)2 4 ，-5＜a≤-1

点评：本题考查函数的单调性以及最值问题，培养了学生的分类讨论的思想，属于中档题