Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AC=2，AB=2$\sqrt{2}$，D、E分别是的AB，BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁与A₁C相交于点F，连结DF，则BC₁∥DF，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC₁与A₁C相交于点F，连结DF，
∴F为AC₁ 的中点，
∵D为AB的中点，∴BC₁∥DF，…2分
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD． …4分
解：（2）以C为坐标原点，以直线CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz…5分
则C（0，0，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2），E（0，2，1）
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，1），…7分
设平面DA₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{m}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{m}=x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1）…10分
同理可求平面A₁CE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
设二面角D-A₁C-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…11分
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故二面角D-A₁C-E的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…12分．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．