Question

等比数列{a_n}的公比0＜q＜1，a₁₇²=a₂₄，则使a₁+a₂+…+a_n＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

成立的正整数n的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论．

解答： 解：设首项为a₁，公比为q，依题意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，
∴a₁q⁹=1．则a₁＞0，且a₁=q^-9，
∵{a_n}为等比数列，∴{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

q

为公比的等比数列．
则不等式等价为

a1(1-qn)

1-q

＞

1 a1 (1-( 1 q )n)

1- 1 q

，
∵0＜q＜1，把a₁=q^-9，即a₁²=q^-18代入整理，
得q^-18（1-qⁿ）＞q^1-n（1-qⁿ），
∴q^-18＞q^1-n，
∴-18＜1-n，
即n＜19，
∵n∈N_*，∴n的最大值为18．
故答案为：18．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．