Question

已知函数f（x）=sinωx-

3

cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α-

π

2

）=

1

17

，f（3β+π）=

11

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期求出函数关系式．
（2）根据（1）的结论，利用关系变换求出对应的sinα=

15

17

，cosβ=

4

5

，最后求出cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinωx-

3

cosωx+1=2sin（ωx-

π

3

）+1
由于：函数的最小正周期为6π．
所以：T=

2π

ω

=6π
解得：ω=

1

3

（2）由（1）知：f（x）=2sin（

1

3

x-

π

3

）+1
f(3α-

π

2

)=2sin(α-

π

2

)+1=-2cosα+1=

1

17

所以：cosα=

8

17

f(3β+π)=2sinβ+1=

11

5

所以：sinβ=

3

5

α，β∈[0，

π

2

]，根据同角三角函数恒等式，
所以：sinα=

15

17

，cosβ=

4

5

所以：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

13

85

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的应用，函数解析式的确定，同角三角函数关系式的应用．属于基础题型．