Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且满足右焦点（c，0）到直线x=

3

的距离为

3

，
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知A（2，-1），过原点且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△APQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设右焦点为（c，0）（c＞0）通过|c-

3

|=

3

，求出c，利用离心率求出a，然后求解b，即可求出椭圆的标准方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）将直线l方程：y=kx与椭圆方程联立消y得求出x，利用弦长公式，以及点到直线的距离求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出面积的最大值．

解答： 解：（1）设右焦点为（c，0）（c＞0）依题意可知|c-

3

|=

3

，
∴c=2

3

或c=0(舍去)，…（2分）
又∵离心率为

3

2

，∴a=4故b²=a²-c²=4，
因此椭圆的方程为：

x2

16

+

y2

4

=1；…（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线l方程：y=kx与椭圆方程联立消y得（1+4k²）x²-16=0，所以x2=

16

1+4k2

…（6分）
∴|PQ|=

1+k2

|x₂-x₁|=

1+k2

×2×

16 1+4k2

，…（8分）
又∵点A到直线l的距离d=

|2k+1|

1+k2

，…（9分）
故△APQ的面积=

1

2

|PQ|•d=4×

|2k+1|

1+k2

=4×

4k2+4k+1 1+4k2

=4×

1+ 4k 1+4k2

=4×

1+ 4 1 k +4k

，…（11分）
当k＞0时，

1

k

+4k≥4（当且仅当k=

1

2

时，取等号）．
故△APQ的面积有最大值4

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．