Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥平面ABC，且AC⊥BC₁，AA₁=3，AC=CB=2．E，F分别为线段B₁C₁，BB₁上的动点．
（Ⅰ）证明：直线AC⊥平面B₁BCC₁
（Ⅱ）若BF=B₁E=x（0≤x≤2），试求三棱锥F-AEB₁的体积的最大值？
（Ⅲ）d （Ⅱ）的条件下，在平面A₁B₁C₁内过点B₁作一条直线与平面AEF平行，与A₁C₁交于点P，并写出

A1P

PC1

的值（要求保留作图痕迹，但不要求写出证明或求解的过程．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，BC⊥AC，由此能证明AC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由已知得AC⊥平面B₁EF，B₁F=3-x，从而VF-AEB1=VA-FEB1=

1

3

×2×

1

2

x×(3-x)=

1

3

(3x-x2)，由此能求出x=

3

2

时，三棱锥F-AEB₁的体积最大，最大值为

3

4

．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的条件，在平面A₁B₁C₁内过点B₁作一条直线与平面AEF平行，与A₁C₁交于点P，并写出

A1P

PC1

的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BB₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵BC⊥AC，又BC∩BB₁=B，
∴AC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AC⊥平面B₁EF，
由BF=B₁E=x（0≤x≤2），得B₁F=3-x，
∴VF-AEB1=VA-FEB1=

1

3

•AC•S△EFB1
=

1

3

×2×

1

2

x×(3-x)=

1

3

(3x-x2)
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

3

4

，
∴x=

3

2

时，三棱锥F-AEB₁的体积最大，最大值为

3

4

．
（Ⅲ）如图，直线B₁P即为所求的直线，
且

A1P

PC1

=

3

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查在平面A₁B₁C₁内过点B₁作一条直线与平面AEF平行，与A₁C₁交于点P，并写出

A1P

PC1

的值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．