Question

20．设a，b，m，n∈R，且a²+b²=3，ma+nb=3，则 $\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．

解答 解：由柯西不等式得，
（ma+nb）²≤（m²+n²）（a²+b²）
∵a²+b²=3，ma+nb=3，
∴m²+n²≥3
∴$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值为：$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．