Question

5．已知圆C的圆心为原点，且与截直线$x+y+2\sqrt{6}=0$所得弦长等于圆的半径．
（1）求圆C的半径；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，
求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）依题意得：圆C的半径$r=\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=4$，可得圆C的方程．
（2）由PA，PB是圆C的两条切线，可得OA⊥AP，OB⊥BP．A，B在以OP为直径的圆上．设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为$（{4，\frac{b}{2}}）$．可得以OP为直径的圆方程．AB为两圆的公共弦，可得方程，进而得出答案．

解答 解：（1）依题意得：圆C的半径$r=\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=4$，所以圆C的方程为x²+y²=16．（4分）
（2）证明：∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．∴A，B在以OP为直径的圆上．
设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为$（{4，\frac{b}{2}}）$．∴以OP为直径的圆方程为${（{x-4}）^2}+{（{y-\frac{b}{2}}）^2}={4^2}+{（{\frac{b}{2}}）^2}，b∈R$
化简得：x²+y²-8x-by=0，b∈R∵AB为两圆的公共弦，∴直线AB的方程为8x+by=16，b∈R
所以直线AB恒过定点（2，0）．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．