Question

15．已知复数z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$
（1）若z•（m+2i）为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z₁与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z₁的实部；
（3）若复数z₂=a+bi（a，b∈R），且z²+az+b=1-i，求|z₂|

Answer 1

分析 复数z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=1+i．
（1）利用复数的运算法则与纯虚数的定义即可得出．
（2）复数z₁与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，可得其实部互为相反数，而虚部相等．
（3）利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．

解答 解：复数z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=$\frac{-2i+3+3i}{2-i}$=$\frac{3+i}{2-i}$=$\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i．
（1）z•（m+2i）=（1+i）（m+2i）=m-2+（2+m）i为纯虚数，∴m-2=0，2+m≠0，
解得m=2．
（2）∵复数z₁与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
∴z₁=-1+i，
∴z₁的实部为-1．
（3）复数z₂=a+bi（a，b∈R），且z²+az+b=1-i，
∴2i+a（1+i）+b=1-i，
即a+b+（2+a）i=1-i，
∴a+b=1，2+a=-1．
解得a=-3，b=4．
∴|z₂|=$\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式、纯虚数的定义、几何意义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．