Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数．
（Ⅰ）用定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）直接利用用定义法证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅱ）不等式f（x-1）+f（x）＜0转化为f（x-1）＜f（-x）．利用函数的单调性列出不等式组求解即可．

解答： （本小题满分8分）
解：（Ⅰ）证明：对于任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)+x1x2(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x1-x2＜0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0，
∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函数．…（4分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，f（x）是奇函数且在（-1，1）上递增，
f（x-1）+f（x）＜0，f（x-1）＜-f（x），f（x-1）＜f（-x）
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

∴

0＜x＜2 -1＜x＜1 x＜ 1 2

∴0＜x＜

1

2

．
∴不等式的解集为(0，

1

2

)．…（8分）．

点评：本题考查函数的单调性的应用，单调性的证明，是基本知识的考查．