Question

14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2$\sqrt{3}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且b＞c，则b=4．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得A，C为锐角，从而可求A，C，进而可求B的值，利用勾股定理可求b的值．

解答 解：∵a=2，c=2$\sqrt{3}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$，在△ABC中，由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵b＞c＞a，可得：A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{π}{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，勾股定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．