Question

2．函数f（x）=sin²x+cosx在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． -1
• D． $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 将解析式化简为关于cosx的二次函数形式，然后结合二次函数闭区间上的最值求法解答

解答 解：因为f（x）=sin²x+cosx=1-cos²x+cosx，
设t=cosx，因为x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，所以t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
所以函数y=-t²+t+1=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$在[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]先增后减，
且它的最小值为t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时的函数值，是y_min=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
即f（x）的最小值为$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数与二次函数相结合的函数最值的求法；本题关键是利用换元将解析式转化为二次函数的解析式，注意新元的范围．